简单记在这里。
/Developer/Applications/FileMerge.app/Contents/MacOS/FileMerge -left “File1” -right “File2” -ancestor “File3” -merge “File4”
这个工具很好用，难免有需要整到脚本里用的时候。
-left
-right
-ancestor
-merge
四个选项
参考:http://hints.macworld.com/article.php?story=2001102615104319
接上一篇Blog，这里用贝塞尔曲线来平滑多个点。
和样条插值不同，在多个点上作贝塞尔曲线的时候，曲线只穿过首尾两个点，中间的点都是作为控制点。
移动控制点，曲线也随之形变，可以造成一种拉扯的效果。在各种作图工具中，经常使用贝塞尔曲线来画曲线。一般的操作都是先画一条线段，然后可以通过拖动一个控制点来调整线段的弯曲程度。
作多点贝塞尔曲线只需要一个公式。所有的点的X值，被归一化到[0,1]区间内。
具体理论，可以参考这个页面Bézier curves。89年创建的，可有年头了。
这里还是贴代码吧。
首先需要得到X区间的总长度。
CGPoint startPt = [[_points objectAtIndex:0] CGPointValue];
CGPoint endPt = [[_points objectAtIndex:(self.pointCount - 1)] CGPointValue];
float amount = endPt.x - startPt.x;
然后就是曲线方程了，这个比样条插值要简单不少。
rank是指总的阶数，也就是实际的点数。这个函数表示n个点的贝塞尔曲线在x处的值。
这里的ux属于区间[0,1]
float (^bezierSpline)(int rank, float ux) = ^(int rank, float ux) {
float p = 0.0f;
for (int i = 0; i < rank; i++)
{
CGPoint pt = [[_points objectAtIndex:i] CGPointValue];
p += pt.y * powf((1 - ux), (rank - i - 1)) * powf(ux, i) * (factorial(rank - 1)
/ (factorial(i) * factorial(rank - i - 1)));
}
return p;
};
下面很容易了，画图的时候步长为1，求得ux之后，带入方程得到点的y值，画曲线。
[path moveToPoint:startPt];
for (float curX = startPt.x; (curX - endPt.x) < 1e-5; curX += 1.0f)
{
float u = (curX - startPt.x) / amount;
[path addLineToPoint:
CGPointMake(curX, bezierSpline(self.pointCount, u))];
}
CGContextSetLineWidth(context, 1.0f);
CGContextSetStrokeColorWithColor(context, [UIColor blackColor].CGColor);
CGContextAddPath(context, path.CGPath);
CGContextStrokePath(context);
}
和三次样条相比，由于不经过中间点，丢失细节比较多，平滑度更好。
平滑前
三次样条
贝塞尔曲线
示例代码: Sample-CurveFit
和上个例子放在一个repo里。
参考: Wiki
很多东西不在手上用着就容易忘，尤其是书本知识。就弄这么个类别，叫作“书到用时方恨少”，来记录这些知识。
曲线拟合是一个“数值计算“中的一个基本内容。在实际的项目中，使用拟合的目的就是从有限个点得到一条平滑曲线。曲线本身也是由点构成的，所以如何从有限个点得到曲线上的其它点，就是插值所关注的内容。
插值的方法有很多，把这些个点逐个用直线段连起来也是一种插值。
样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。
Google 三次样条插值可以看得到不少材料，这里就不罗列公式了，直接看看在代码里，我们怎么做。
首先我们需要各个点的坐标，以x,y表示。
const int len = [_points count];
float x[len];
float y[len];
for (int i = 0; i < len; i++)
{
CGPoint p = [[_points objectAtIndex:i] CGPointValue];
x[i] = p.x;
y[i] = p.y;
}
取变量x,y
从算法中可以得知，我们的目标是样条插值函数，这是一个分段函数，x最高次数为三次，在各个点二次连续可导以保证最终函数曲线的光滑性。
我们每两个点求一个三次函数，我们有n个点，那么这里就需要4(n-1)个方程。
目前我们有n个点的坐标，有n-2个连接点，有n个函数两次连续可导，这里有n+n-2+2*(n-2)共4n-6个方程，还差两个条件。
这里一般有三种处理方法，最方便的，也是我们这里使用的是自然三次样条，也就是在首尾两个点上二次导为0。
具体计算不在此列举了，根据算法构建一个方程组求一组中间值sx，左边是一个三对角矩阵。
float h[len];
float u[len];
float lam[len];
for (int i = 0; i < len-1; i++)
{
h[i] = x[i+1] - x[i];
}
u[0] = 0;
lam[0] = 1;
for (int i = 1; i < (len - 1); i++)
{
u[i] = h[i-1]/(h[i] + h[i-1]);
lam[i] = h[i]/(h[i] + h[i-1]);
}
float a[len];
float b[len];
float c[len];
float m[len][len];
for (int i = 0; i < len; i++)
{
for (int j = 0; j < len; j++)
{
m[i][j] = 0;
}
if (i == 0)
{
m[i][0] = 2;
m[i][1] = 1;
b[0] = 2;
c[0] = 1;
}
else if (i == (len - 1))
{
m[i][len - 2] = 1;
m[i][len - 1] = 2;
a[len-1] = 1;
b[len-1] = 2;
}
else
{
m[i][i-1] = lam[i];
m[i][i] = 2;
m[i][i+1] = u[i];
a[i] = lam[i];
b[i] = 2;
c[i] = u[i];
}
}
求三对角矩阵，自下而上对角线上的参数是a,b,c
当然需要得到方程组右边的值
float g[len];
g[0] = 3 * (y[1] - y[0])/h[0];
g[len-1] = 3 * (y[len - 1] - y[len - 2])/h[len - 2];
for (int i = 1; i < len - 1; i++)
{
g[i] = 3 * ((lam[i] * (y[i] - y[i-1])/h[i-1]) + u[i] * (y[i+1] - y[i])/h[i]);
}
下面就是求解这个方程组了，对于三对角矩阵，使用追赶法
//< Solve the Equations
float p[len];
float q[len];
p[0] = b[0];
for (int i = 0; i < len - 1; i++)
{
q[i] = c[i]/p[i];
}
for (int i = 1; i < len; i++)
{
p[i] = b[i] - a[i]*q[i-1];
}
float su[len];
float sq[len];
float sx[len];
su[0] = c[0]/b[0];
sq[0] = g[0]/b[0];
for (int i = 1; i < len - 1; i++)
{
su[i] = c[i]/(b[i] - su[i-1]*a[i]);
}
for (int i = 1; i < len; i++)
{
sq[i] = (g[i] - sq[i-1]*a[i])/(b[i] - su[i-1]*a[i]);
}
sx[len-1] = sq[len-1];
for (int i = len - 2; i >= 0; i--)
{
sx[i] = sq[i] - su[i]*sx[i+1];
}
求得了参数，现在就得到分段插值函数了。这种函数实际上有两个参数。
一个是所在的段位，这个是整数。另一个才是自变量。
在Objective-C里用block做一个临时的函数很是方便。
double (^func)(int k, float vX) = ^(int k, float vX) {
double p1 = (ph[k] + 2.0 * (vX - px[k])) * ((vX - px[k+1]) * (vX - px[k+1])) * py[k] / (ph[k] *ph[k] * ph[k]);
double p2 = (ph[k] - 2 * (vX - px[k+1])) * powf((vX - px[k]), 2.0f) * py[k+1] / powf(ph[k], 3.0f);
double p3 = (vX - px[k]) * powf((vX - px[k+1]), 2.0f) * psx[k] / powf(ph[k], 2.0f);
double p4 = (vX - px[k+1]) * powf((vX - px[k]), 2.0f) * psx[k+1] / powf(ph[k], 2.0f);
return p1 + p2 + p3 + p4;
};
到此为止，得到了曲线的函数。当然在实际画曲线的时候，我们仍然是逐个点画，
取点的时候取得密集一些就形成曲线了。这里delta取为1。
for (int i = 0; i < [_points count]; i++)
{
CGPoint pt = [[_points objectAtIndex:i] CGPointValue];
if (i == 0)
{
CGPathMoveToPoint(path, NULL, pt.x, pt.y);
}
else
{
CGPoint curP = [[_points objectAtIndex:i-1] CGPointValue];
float delta = 1.0f;
for (float pointX = curP.x; fabs(pointX - pt.x) > 1e-5f; pointX += delta)
{
float pointY = func(i-1, pointX);
CGPathAddLineToPoint(path, NULL, pointX, pointY);
}
}
}
拟合前
拟合后
示例代码在GitHub上: Sample-CurveFit